integral parsial

Beberapa integral membutuhkan penggunaan berulang dari proses inegral parsial. Salah satu contohnya adalah sebagai berikut.
Contoh : Penggunaan Berulang dari Integral Parsial
Temukan,
Contoh 4
Pembahasan Faktor-faktor x2 dan sin x merupakan bentuk yang sama-sama mudah diintegralkan. Akan tetapi, turunan dari x2 lebih sederhana, sedangkan turunan dari sin x tidak lebih sederhana. Sehingga, kita harus memisalkan u = x2.
Contoh 4 u dv
Sehingga, dengan integral parsial didapatkan
Contoh 4 Integrasi I
Penggunaan pertama dari integral parsial ini berhasil dalam menyederhanakan integral aslinya, akan tetapi integral yang ada di ruas kanan masih belum sesuai dengan aturan dasar integral. Untuk menyelesaikan bentuk integral ini, kita dapat menerapkan integral parsial lagi. Untuk saat ini, misalkan u = 2x.
Contoh 4 u dv 2
Sekarang, dengan menerapkan integral parsial kita memperoleh
Contoh 4 Integrasi II
Dengan menggabungkan kedua hasil di atas, kita mendapatkan
Contoh 4 Integrasi
Ketika melakukan penerapan berulang dari integral parsial, kita harus hati-hati untuk tidak menukar subsitusi dalam proses yang berurutan. Misalnya, pada Contoh 4, substitusi pertamanya adalah u = x2 dan dv = sin x dx. Jika pada proses integral parsial yang kedua kita mengganti substitusinya dengan u = cos x dan dv = 2x, kita akan memperoleh
Contoh 4 Keterangan
yang meniadakan proses integral parsial sebelumnya dan kembali lagi kepada integral aslinya. Ketika melakukan integral parsial yang berulang, kita juga harus memperhatikan kemunculan dari pengali konstan dari integral aslinya. Sebagai contoh, hal ini terjadi pada Contoh 5.
Integral pada Contoh 5 merupakan integral yang penting. Contoh 5 tersebut dapat digunakan untuk menentukan panjang dari busur parabolis.
Contoh : Integral Parsial
Tentukan,
Contoh 5
Pembahasan Bagian yang paling rumit dari integran yang dapat dengan mudah diintegralkan adalah sec² x, sehingga kita harus memisalkan dv = sec² x dx dan u = sec x.
Contoh 5 u dv
Dengan menerapkan integral parsial kita mendapatkan
Contoh 5 Integrasi
Contoh 6: Menemukan Titik Pusat
Suatu bagian dari mesin dimodelkan sebagai daerah yang dibatasi oleh grafik y = sin x dan sumbu-x, 0 ≤ x ≤ π/2, seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan titik pusat dari daerah tersebut.
Grafik sin x
Pembahasan Pertama kita tentukan luas dari daerah yang dimaksud.
Contoh 6 Luas
Sekarang kita dapat menentukan koordinat titik pusat sebagai berikut.
Contoh 6 Ordinat
Kita dapat menentukan integral dari absis titik pusat dengan menggunakan integral parsial. Untuk melakukannya, kita misalkan dv = sin x dx dan u = x. Hal ini akan menghasilkan v = –cos x dan du = dx, sehingga
Contoh 6 Integrasi
Akhirnya, kita mendapatkan

    Komentar

    Posting Komentar

    Postingan populer dari blog ini

    limit dan fungsi

    Gambar
    Pengertian Di dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit digunakan dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan. Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p. Teorema Limit Definisi dan Teorema Limit. Limit dalam bahasa umum bermakna batas. Ketika belajar matematika beberapa guru yang menyatakan bahwa limit merupakan pendekatan. Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendek...
    Baca selengkapnya

    Baris Dan deret Matematika

    Gambar
    A.      Pengertian Barisan dan Deret 1.      Barisan Bilangan Perhatikan susunan bilangan berikut : a.       1, 2, 3, 4, 5,…;                 dinamakan barisan bilangan asli b.      2, 4, 6, 8, 10,…;               dinamakan barisan bilangan asli genap c.       1, 3, 6, 10, 15,…;             dinamakan barisan bilangan segitiga d.      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…;       dinamakan barisan bilangan Fibonacci Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli). Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilang...
    Baca selengkapnya