Baris Dan deret Matematika

A.      Pengertian Barisan dan Deret

1.      Barisan Bilangan

Perhatikan susunan bilangan berikut :

a.       1, 2, 3, 4, 5,…;                 dinamakan barisan bilangan asli

b.      2, 4, 6, 8, 10,…;               dinamakan barisan bilangan asli genap

c.       1, 3, 6, 10, 15,…;             dinamakan barisan bilangan segitiga

d.      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…;       dinamakan barisan bilangan Fibonacci

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli).

Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n dilambangkan dengan un disebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai

u1, u2, u3, ... , uk, ... , un

Contoh :

1)  Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai un = 3n +1

Jawab :

Suku ke-n, un = 3n + 1

Untuk n = 1, diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4

n = 2, diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7

n = 3, diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10

Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10.

1) Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.

a)  4, 6, 8, 10, . . .                                    b) 1, 9, 25, 49, . . .

Jawab :

a)  4, 6, 8, 10, . . .;        barisan dengan suku pertama u1 = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.

Jadi, un = 2n + 2

b)  1, 9, 25, 49, . . .;      dapat ditulis sebagai (1)2, (3)2, (5)2, (7)2, ...; barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.

Jadi, un = (2n – 1)2.

2.  Deret

Perhatikan kembali barisan  Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk u1, u2, u3, ... , uk, ... , un, maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan Sn. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 .

Contoh :

1)  Diketahui suatu deret 2 + 4 + 6 + …, hitunglah jumlah 5 suku pertama.

Jawab:

Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 30.

B.      Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu:

3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2

4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2

Secara umum u1, u2, u3, ... , un adalah barisan aritmatika apabila u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.

Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut:

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum :

u1, u2, u3, ... , un  atau

a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b)

Pada barisan aritmatika, berlaku un – un-1 = b , sehingga un = un-1 + b.

a.         Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut :

I u1 = a

I u2 = a + b

I u3 = a + 2b

I u4 = a + 3b

I un = a + ( n -1 ) b

Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut.

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :

I un = a + ( n -1 ) b

Contoh :

1)   Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . .

Jawab :

Barisan 4, 1, -2, -5, …

Suku pertama     u1 = a = 4,

Beda                   b = 1 – 4 = -3,

Suku ke-6           u6 = a + 5b = 4 + 5(-3) = -11

Jadi, suku pertama a = 4, beda b = -3, dan suku ke-6 adalah u6 = 11 

b.    Suku tengah pada barisan aritmatika

Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.

Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u1, ... ,uk, ... , u2k-1, maka suku tengahnya adalah uk.

Suku tengah uk = a + (k-1) b = ½{2a+2(k-1)b} = ½{a+a+(2k-2)b} = ½ {u1 + u2k-1}. Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan uk = ½ {u1+u2k-1}.

Contoh :

1)   Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil.

a)    Carilah suku tengahnya

b)   Suku keberapakah suku tengahnya itu?

c)    Berapakah banyak suku barisan itu?

Jawab :

a)    Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a = u1 = 3, beda b = 2, dan suku terakhir u2k-1 = 95.

uk = ½ (u1+u2k-1) = ½ (3 + 95) = 49

Jadi, suku tengahnya adalah 49.

b)   Dari hasil a), diperoleh :

U uk = a + ( k-1) b = 49

⇔ 3 + (k-1)2 = 49

⇔ 2k = 48

⇔ k = 224

Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24.

c)    Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k – 1 = 2(24) – 1 = 47.

    Deret Aritmatika

Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh :

•      Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,

•      Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1, u2, u3, ... , un, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan sebagai deret aritmatika.

a.         Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , dan Sn ditentukan oleh :

Sn = u1 + u2  +  u3 + ... + un-2 + un-1 + un

Substitusikan u1 = a, u2  = a+b,  u3 = a+2b ,  un-2 = un – 2b, un-1 =un – b; diperoleh

Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... +  (un – 2b) + (un – b) + un …(*)

Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik,  diperoleh:

Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + ... + (a+2b) +  (a+b) + a … (**)

Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :

 

Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2 + u3 + ... + un  ditentukan dengan menggunakan hubungan :

Sn = n/2 (a+ un)

Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un  = suku ke-n.

a.         Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

1.        Sn = n/2 (a+ un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.

2.        Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (Suku ke-n).

Contoh :

1)        Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60.

Jawab :

Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un = a + (n-1)b.

2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan un = 60

60 = 2 + (n-1) 2

⇔ 60 = 2n

⇔ n = 30

S30 = 30/2 (a+ u30) = 15(2+60) = 930

Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30 = 930