Himpunan Matematika

Teori Himpunan

A.Pengertian Himpunan

          Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor  dianggap sebagai  Bapak teori himpunan. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

               Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.
               Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang. Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.


               B.   Jenis-Jenis Himpunan
1.    Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A
Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2.    Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3.    Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan

4.    Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.di notasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5.    Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6.    Himpunan Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}

7.    Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

limit dan fungsi

Gambar
Pengertian Di dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit digunakan dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan. Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p. Teorema Limit Definisi dan Teorema Limit. Limit dalam bahasa umum bermakna batas. Ketika belajar matematika beberapa guru yang menyatakan bahwa limit merupakan pendekatan. Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendek...
Baca selengkapnya

Baris Dan deret Matematika

Gambar
A.      Pengertian Barisan dan Deret 1.      Barisan Bilangan Perhatikan susunan bilangan berikut : a.       1, 2, 3, 4, 5,…;                 dinamakan barisan bilangan asli b.      2, 4, 6, 8, 10,…;               dinamakan barisan bilangan asli genap c.       1, 3, 6, 10, 15,…;             dinamakan barisan bilangan segitiga d.      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…;       dinamakan barisan bilangan Fibonacci Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli). Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilang...
Baca selengkapnya

integral parsial

Gambar
Beberapa integral membutuhkan penggunaan berulang dari proses inegral parsial. Salah satu contohnya adalah sebagai berikut. Contoh : Penggunaan Berulang dari Integral Parsial Temukan, Pembahasan  Faktor-faktor  x 2  dan sin  x  merupakan bentuk yang sama-sama mudah diintegralkan. Akan tetapi, turunan dari  x 2  lebih sederhana, sedangkan turunan dari sin  x  tidak lebih sederhana. Sehingga, kita harus memisalkan  u  =  x 2 . Sehingga, dengan integral parsial didapatkan Penggunaan pertama dari integral parsial ini berhasil dalam menyederhanakan integral aslinya, akan tetapi integral yang ada di ruas kanan masih belum sesuai dengan aturan dasar integral. Untuk menyelesaikan bentuk integral ini, kita dapat menerapkan integral parsial lagi. Untuk saat ini, misalkan  u  = 2 x . Sekarang, dengan menerapkan integral parsial kita memperoleh Dengan menggabungkan kedua hasil di atas, kita mendapatkan ...
Baca selengkapnya